在数值分析，矩阵分解常常用来实现一些矩阵运算的快速算法。

例如，当对线性方程组

A

x

=

b

{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }

进行求解时，矩阵A可以透过LU分解进行分解。LU分解将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U。相比于原方程

A

x

=

b

{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }

，方程组

L

(

U

x

)

=

b

{\displaystyle L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b} }

与

U

x

=

L

−

1

b

{\displaystyle U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b} }

仅需更少的相加和乘法来求解，然而在不精确的算术（如 浮点数）中可能需要更多的数字。

类似的，QR分解将矩阵A分解为两个矩阵的乘积QR，其中Q是正交矩阵， R是上三角矩阵。方程Q(Rx) = b可以通过Rx = QTb = c求解；方程Rx = c可以通过回带求解。该方法所需的额外的加法和乘法大概是LU分解法的两倍，但在不精确的算术中不要求额外的数字，因为QR分解是数值稳定的。